Alexander Busch kom til Silkeborg IF fra Resenbro UIF i en alder af 9 år. Han underskrev sin første treårige ungdomskontrakt med klubben i foråret 2020.

Busch fik sin officielle debut på førsteholdet d. 15. maj 2021 mod HB Køge i 1. Division. Han blev noteret for 3 kampe i sæsonen 2020/21 og var dermed en del af oprykningen tilbage i 3F Superligaen. Alexander Busch fik debut i 3F Superligaen d. 31. oktober 2021 mod SønderjyskE.

Den 19. januar 2022 underskrev Busch en ny kontrakt med Silkeborg IF der løber til juni 2026.